儿童空间概念的发展
产品特点：
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在儿童几何概念的发展方面有两个理论最受瞩目，一是Piaget&Inthlder的研究，另一个是van Hiele的研究，以下先介绍这两种理论再讨论其他研究。
一、Piaget & Inhelder(1967)的研究
Piaget & Inhelder发现儿童对于几何概念的理解，与其智慧结构有密切关系，儿童对于空间的理解不是知觉的产物，而是内化他对于图形、物体、空间的行动，形成内在表征，而组织成的操作系统，用他们话来说：
空 间的【直觉】并不是【读取】或理解物体的性质，而是你从一开始，这个直觉就是作用到物体之上的行动，恰由于行动丰富了并发展了物理实在，而非仅仅从物理实 在抽取现成的结构，因而行动终能超越物理限制而创造了操作的基模，此基模可予以形式化而成为纯抽象演绎的型态。从最基础的感觉动作的行动到抽象的运思，几 何直觉的发展及是行动的发展;其萌芽是联结行动与物体的适应，同进将物体同化于它的结构中，就像几何学转变物理学的历程一样，行动转变了物体。(p.449)
而此操作系统的发展有一顺序，先理解拓朴性质，再理解射影几何与欧氏几何的性质。我们从形状概念、射影概念、座标等三方面讨论其研究。
(一)形状
假如我们拿○△□等三种图形各两个，把它们弄乱，然后请儿童把相同的配对起来，这样的作业可以依赖知觉判断来作;假如我们要儿童闭着眼睛用摸的来判断，则儿童须要将摸到的经验转换成视觉心像做判断，亦即依赖他的内在表征做判断。Piaget & Inhelder感 兴趣的不是知觉，而是儿童在空间表征——行动内化所成的心像，所以他们的研究采取触摸和画图的作业，前项作业的方式是在袋子里放一些图形板，让儿童用手触 摸之，然后判断那是什么图形，例如袋中放把钥匙，儿童摸了以后要说出那是什么东西，或者在其面前旋转一些图形板，儿童要指明所摸的图形是面前图形中的哪一 种，后一种作业则是要儿童仿绘图形。
1.触觉作业
他们用来让儿童触摸的物体有两个类，一、常见物品，如铅笔、钥匙、梳子、汤匙等等，这类物品较适于幼儿，二、木板刻成的几何图形，参阅图14.6。这类图形又分为四类：(1)简单而对称的图形，如圆、椭圆、方形、长方形、菱形、三角形、十字形;(2)较复杂的对称图形，如星形、双十字形(图1)、 字、半圆、有锯齿弦的半圆(图3);(3)不规则的直边图形，如各类四边形(图4);(4)拓朴图形，如不规则的形状空了一个或两个洞(图5、6)、封闭或开口的环(较长7、8)、相套的环(图9)或相叠的环(图10)。
图14.6给儿童触摸的各种形状
据他们的研究，儿童以触觉判断图形之能力的发燕尾服有三个阶段。
阶段Ⅰ：此阶段又分两阶段又分为两个阶段
ⅠA：能辨认常见图形，如汤匙铅笔，无法辨认几何图形。
ⅠB：(约3至4岁)略能辨认几何图形，但只以辨认拓朴图形。
ⅠB-ⅡA过渡阶段(4至4岁半)：能分辨曲边与直边的图形，如能分辨△○，但不能分辨两曲边直边的图形，如 ○，也不能分辨直边的图形，如长方形与平行四边行，幼儿在分辨图形时两手一起来，靠整体的感觉来辨认，不会用手指摸索图形的部分。
阶段Ⅱ
ⅡA：(约4岁半至5岁半)能依据图形的角或边的特性来分辨图形，如能分辨正方形与长方形(边长不相等)、椭圆与圆。
ⅡB：(约5岁至5岁半)能分辨菱形与四边形、十字与星形，其探索更为主动，能以手指摸索图形的部分，但其探索缺乏系统。
阶段Ⅲ
此阶段约在六岁半至七岁间开始。此阶段儿童能有系统探索图形，他们能分辨最复杂的征字。他们会找到 字的中心点，由中心点探索每一个臂，回到中心点再探索另一臂，其探索有策略。
2.仿绘图形作业
儿童仿绘图形常驻机构是画其所知而非画所见。例如让儿童画方块，他画的常是一个正方形旁边加两个长方形，而是不透视图。所以儿童所画的图形代表他们对图形的了解而非对图形的知觉。
Piaget所用的图形有21个，其中有：(1)不规则的图形和小圆圈，小圈或在图形外或在内或上边上，(2)简单图形，如圆、方形、三角形、椭圆、长方形、+、×，(3)两圆形的关系，两圆分开(○○)、两圆相切( )、两圆相交( )，(4)三角形与圆的关系，△内接于圆( )，△包含在圆内( )、△两点在贺上一点在圆心( )、△外切于圆( )，△与圆相交( )，(5)画一对角线的正方开形，(6)菱形及画有一条水平对角线的菱形。
儿童仿绘图形能力的发展有三个阶段。阶段0(约在两三岁以下)
无论仿会哪一图形只能乱涂，没有仿绘的能力。
阶段Ⅰ
ⅠA：(约在3岁半到3岁10个月以下)略能仿绘图形，能分别开放与封闭的图形，如+字画成两条分开的线，圆画能封闭的线。
ⅠB：(约在三岁到四岁间)儿童能画拓朴图形，而忽略欧氏几何性质。圆画成不规则的圆，三角形正方形也都画成圆。闭品或封闭已画得清楚，像+字则画成开放的，不规则的图形与小圆圈的关系在拓朴性质，儿童都表达清楚。
阶段Ⅱ 约在四岁间开始，欧氏几何形状的辨认显著进步。
ⅠB-ⅡA过渡阶段：能分辨曲线与直线，但不能分辨圆与椭圆、三角形与方形。方形可以画正确，但其他圆形则不计其边数。
ⅡA：能分辨图形的角与边，所以能分辨三角形与方形、圆形与椭圆。能画出有对角线的方形与菱形( )，但无法画出菱形。他们也能分辨+与×，至于圆与三角形的关系则分不清楚。
ⅡB：能画菱形及其他圆形，但圆与三角形相交的图形画不好。
阶段Ⅲ
约在六岁半和七岁之间，儿童以画好圆与三角形相交的图形。
Piaget &Inhelder 认为儿童玩具记绘图形时先分析图形特征，再将所知道的特征表现出来，以菱形为例，ⅠB的儿童知道菱形是封闭曲线，所以画个圆代表之，也知道菱形有尖角，于是圆上加一撇( )。而ⅠB-ⅡA的儿童知道直边与角度，但不能掌握斜线，所画的菱形是个方形再加一撇、或方形上加个角( )、或长方形掌握斜线，或长方形两边各加个角。ⅡA的儿童已能把握斜线，但不能理解对称所以画不出菱形，反而有水平对角线的菱形比较容易，他们可以把它看成是两个相反的三角形。
(二)射影概念
我们在第一节提到射击队影变换的一种是从一个点将一平面上的图形射到另一个平面，Piaget &Inhelder认为射影变换依赖儿童能对物体采取一个观点及协调所有可能观点的能力，而这种能力也赖儿童综合及协调其行动以组成观点的系统的能力，在这方面他们有几个研究，我们只介绍直线概念。
直线概念
我们通常认为直线是直觉所知，不须定义，但Piaget 认 为直线的概念乃是儿童试图将物体关联在一射影观点或座标系统所得到的结果。依他们的定义，直线是在两点间沿一直的路径放置一连串的点，所以儿童若有直线的 概念便会用瞄准的方法将一连串的点串成一点，他们的研究方法是，准备一些有底座的火柴棒当作是电杆，另准备圆形桌与长方形桌，沿长方形桌边放置两根火柴 棒，向儿童说是电杆，现在要求儿童在两电杆之间安放其他的一些电杆，要排得直直的，儿童藉着桌边的帮助常可以排好电杆，其后将两根电杆摆在与桌边成斜角的 位置，也要求儿童在这两电杆之间摆其他电杆，且排成直线，在圆桌上则任意摆放首尾两根电杆即可，依他们的研究，儿童在直线概念的发展也有三个阶段。
阶段Ⅰ
(四岁以下)无法构成直线，既使首尾两根电标明与桌边平等也不会。让他们仿绘方形与三角形，他们也不会画出直线。
阶段Ⅱ
(约四至七岁)假如首尾两电杆与桌边平行还可以排出直线，若首尾两根与桌边成斜角就失败了。
ⅡA：(约六岁以下)此阶段儿童无法克服桌边的影响。
ⅡB：儿童由不断的试误已能逐渐克服桌边影响，但仍排不出正确直线。
图14.7直线概念 阶段Ⅱ
阶段Ⅲ
(约七岁开始)儿童能以瞄准的策略，把自己和两根电杆排成一直线，而将其他电杆排成直线。
(三)座标概念或参照系统(system of reference)
当 我们要描述一个地方的位置时，总要先定一个参照点;例如我们说台北在台湾北端，是以台湾为参照点，说板桥在台北之南，这是以台北为参照点或基准点。儿童最 初会以【在……旁边】【在……和……的中间】一为描述位置，后来就会用上下、左右、前后等关系来表示位置，儿童若能用上下的关系将一连串的点组织起来，找 到一个定点为基准点，然后用这条线来表示线上某一点的位置，则他有了纵座标的概念，若能协调上下与左右的座标就有平面座标的概念。地球上的经线是纵座标而 纬线便是横座标。
儿童自然形成的参照系统是物理世界的铅直与水平轴。在水平轴方面我们从注就经验到地面、水面、桌面是平的;在铅直轴方面我们经验到东西掉落时垂直地面、悬挂的垂直地面，墙柱与电线杆垂直地面。
Piaget &Inhelder研 究儿童水平参照系统的方法是利用瓶中的水平线。他们准备两个瓶子，一个瘦长，一个有圆肚子，瓶中装四分之一的颜色水，询问儿童若瓶子倾倒，水的位置会如 何?另给一个瓶子，要求儿童用手指明水的位置，对于五岁以上的儿童则给予不同倾斜程度的同形状的画，要他画出水的位置，要儿童画出桌面的位置以便确定瓶子 与桌子的相对位置。儿童做了预测之后，当面做实验给他看，让他改正前画或会重画，再做预测。
以铅直座标的研究，他们在瓶内放一软木塞，木塞上插垂直的火柴棒，要儿童预测瓶子倾斜时火柴棒的位置，或者要儿童在一座山的沙丘上放置树、人物、建筑等等，并要他说出什么是【直】的或【斜】的，或者画山上的树木建筑等等。
依其研究，儿童对于水平与铅直座标的概念，有三个发展阶段。
阶段Ⅰ
(四、五岁以下)无法表示水面，不知有平面甚至没有面的观念，瓶中的水被画成一团，所有山上的树都沿山坡平躺。
阶段Ⅱ
未有客观座标的观念，方向依各别轮廓而定，其参照基点是物体所在的山坡的瓶子。
ⅡA：不能清楚地表示水面，瓶子倾斜时不会考虑较为永恒的参考座标，如桌子或地面。他们只想像水的扩散或收缩，有的儿童认为瓶子倾斜则水会跑出去，所以把水画在瓶径。他们所画的树与人垂直于山坡。
ⅡB：儿童知道水面不会总是与瓶底平行，因此能同时考虑水面与瓶子的倾斜角，未有客观的参照基点的观念，在沙丘上的树与房子已能直立，但垂直于山坡。
ⅡB-ⅢA：儿童知道瓶子倒立或正放时水面与瓶底平行，瓶子若横倒则水面与瓶壁平行，但瓶子若是倾斜的则画不出正确图形。山坡上的树与房子已能垂直于水平面。
阶段Ⅲ (约七、八岁)
ⅢA：儿童能将客观参照点的原则用于所有情况，但是水面常是斜的，未能依靠瓶外的参照点(桌面)。
ⅢB：大约在九岁以后就能运用水平及铅直座标了。
(四)Piaget之后的研究
依Clements & Battista(1992)的意见，许多复制Piaget 研究方的研究都获得与他们相同的结果，但若采取不同的研究方法，则有不同的结果，据其引述，有的研究者发现二、三岁的幼儿就能分辨曲边与直边的图形，曲边性质与拓朴性质同样容易辨认，Martin (1976)准备了三种图形;A是与范例在拓朴性质上相同的图形，B与范例有大部相同的欧氏几何性质但在拓朴性质上改变其联接性，C则改变其封闭性。呈现ABC三种图形让儿童选择与范例最接近的图形，结果发现四岁儿童认为A(拓朴性质等价的图形)与蒸汽参数例最不相同。Landau,Gleitman,&Spelke(1981)发 现一个不到三岁的盲童表现对欧氏几何性质的了解，引该童在室内一点走到一面墙的某物再回到原点，又引到另一墙的某物再回原点，又到另一墙的某物再回来，该 童工能再度找到那些物体，其行动表现出她有角度与距离的认知，从以上所述和其他研究所见，儿童先认知拓朴性质再认知欧氏几何性质的假设未获肯定，所以Clements & Battista(1992)认为影响儿童辨认的性质不是拓性质或欧氏几何性质，而是简单的、熟悉的属性。Mandler.J.M(1983)认为儿童对于环境事物的熟悉度影响他们空间表征的重要因素。
在射影几何与座标概念方面，也有一些研究结果和Piaget的理论不一致。例如三座山的作业(桌上摆三座山的模型，儿童要判断从座位上所见三座山的关系以及另一方位所见的关系)若让儿童有机会绕桌子走一遍则更能判断的正确。Newcombe(1989)发现五岁或甚至是三岁的幼儿就会以地标的架构记认物体的方位，这意谓射影空间的发展可能含有观点的协调以及外在架构的建立。Somerville & Bryant(1985)发现四至六岁的儿童能够由纵座标和横座标上的点画出直张，并能断定可能相交的地方。(以上引自Clements & Battista,1992)
由许多研究所显示，Piaget的一些假设并未被充分肯定。也许由于研究方法不同而有不同结果，需要进一步的究与解释。
Clements & Battista,1992认为Piaget的另一个重要理论——儿童的空间表征不是知觉的映像，而是从主动操作环境物体中建构起来的——少有研究者讨论之，但Piaget的论点与Fischbein(1987)的观点相近，他认为空间直觉不是天生的，也不可以化约为感觉心像的聚集，空间表征构成了一个复杂的概念系统，超越了手边的资料以及一般的知觉领域。
二、Van Hiele几何思想的发展阶段
荷兰教育家Dina van Hiele-Geldof及其先生Pierre Marie van Hiele提出一套几何思维发展的理论，依其理论几何思维发展有五个阶段：视觉的、分析的、非正式演绎、正式演绎、严格等。
(一)各阶段的描述
阶段0：视觉的(visual或visualization)
此 阶段的儿童能依据图形的外表轮廓来分辨图形。他们能辨认三角形或正方形，但其辨认只依其整个形状，不会分析图形的性质，知觉控其几何思维，所以他们会说一 个图形是长方形，因为他像个窗，对于两个图形的区别说不出理由，只说是就是看到的，假如儿童这是一个菱形，并非表示他知道它的四个边相等，而只是【这个形 状和我以前学过的称为【菱形】的图形相似】。
儿童可能有下列表现：
1. 能在一组图形卡中依图形外貌找出某种图形。
2. 能用钉板和橡皮盘仿作一个图形，或用一些图形拼成另一图形。
3. 能说出图形的名称，能指出两个图形是否相同，并作分类。
4. 依图形的整体外貌描述一个图形。
阶段Ⅰ：分析的(avalytic/descriptive)
此阶段的儿童能分析图形的性质，如三角形有三个边三个顶点，儿童以测量、观察、绘画、作图形来建立图形的性质，他们知道某类图形含有一些相同的性质，如正方形有四个等边和四个直角，但他们还不能看出不同类图形间的关系，所以他们会认为一个图形是正方形所以不是长方形。
此阶段儿童可能有下列表现
1.能指出一个图形的构成要素或要素间的关系，如说出梯形有四个边、有两个边平行。
能说明一个图形的性质以描述该图形。
2.能由两个图形之要素与其间关系的异同比较两个图形，如平行四边形与长方形都有两组对边平行，但长方形的角是直角，但还不会认为长方形是平行四边形的一种。
3.能依图形的性质来建构图形，例如能画一个【一组对边平行，俣另一组对边不平行的图形】。
4.能在测量或操作图形之后归纳图形的性质，如发现三角形内角和是180度。
5.能比较不同类图形间的性质有何异同，如知道长方形与正方形都有平行的对边。
阶段Ⅱ：非正式演绎或抽象的(informal deduction/abstract)
此 阶段的儿童可能形成抽象的定义，能区别一个概念之必要与充分的条件，甚至也能提出一些逻辑的理论，他们也能够建立图形类别音质包含关系，例如四边相等的图 形是菱形，四边相等且四角皆为直角的图形是正方形，所以正方形也是菱形的一种，他们也能依据非正式的演绎推理来确定一些图形的性质，例如三角形的内角和为180度，四边形分解为两个三角形，所以四边形的内角和为360度。
由于他们能建立图形类别的间的关系，所以能将各种图形组成一个系统，例如四边形征梯形征平行四边形征长方形征正方形。由这个系统他们可以理解正方形以证明几何定理的能力，他们所提出的论证较为片段的，并非以最谨的程序来证明一个命题。
此阶段儿童可能有下列表现
1.能以图形的属性定义一图形，如梯形是一组对边平行的四边形。
2.建构不同图形类别间的包含关系。
3.能使用逻辑关系证明一个陈述，例如【一个三角形假如有两个角的和是90度，则它是直角三角表】。他会说，三角形内角和是两个直角，有两上的和是90度，则另一个角是180-90=90度。
4.能以推理发现图形的性质，如四边形的内角和是360度。
5.能指出某种图形有几组性质，并能以最少数的性质业定义图形。
阶段Ⅲ：正式演绎( formal dduction)
此 阶段的儿童能在一公设化的系统内以逻辑推理推演出定理，例如证明本章第一节中的欧氏几何定理——三角形内角平分线交于一点，此阶段的学生能以逻辑推理解释 几何学中的公理、定义、定理等，也能推理出新的定理，他们能理解证明中必要与充分条件，例如至少有一个边对应相等或至少一个角对应相等腰三角形是证明两三 角形全等的必要条件，两角夹边对应相等则是两三角形全等的充分条件。他们也能写出一定理的逆这理，如平行四边形的对角线互相平分，其逆定旦是对角线互相平 分的四边形是平行四边形。
阶段Ⅳ：征格阶段(rigor)
此阶段的学生不仅能在某一几何系统(如欧几何)内推演定理，也能思考不同的公设化几何系统，比较各系统的基础。他们可以研究本书第一章所提到的非欧几何学，达到此阶段的人太少，或许只有专家才达到此阶段，通常不是教学研究的重点。
由以上的描述，不难看出这几个发展阶段其实是形成概念、建构理论的阶段：由认知图形、分析图形性质、形成概念、发展概念间的关系，而至发展几何系统，所以我认为与其说van Hiele的发展阶段是能力的阶层不如说这旨概念发展的阶层。
(二)有关van Hiele阶段论的研究
van Hiele发展阶段的理论提出之后，有许多研究想要证明其可靠性，以及有多少年来应用价值等等，以下是一些研究结论，大部分引自Clements & Battista(1992)。
1.该理论的阶段能否描述学生的几何发展?
有些研究证实此阶段在描述学生几何概念发展上是有用的。例如Burget & Shauhnessy(1986)以征床征谈方式研究幼儿到大学生的几何概念，他们发现学生的行为一般而言与阶段的描述一致。
2.这些阶段是否是分离的?
这些阶段是否为分离的?亦即会不会有些学生的几何思维含有几个阶段的表现?有些研究的结论是肯定的，有些研究则有不同的结论，有些研究者发现在转型期的学生不易划定其阶段，尤其在阶段Ⅱ、Ⅲ两个阶段者。
3.学生在不同几何问题间的思考是否处于相同阶段?
有关的研究未有一致的肯定结论，如Burget & Shauhnessy(1986)发现中学生在不同几何主题有不同的思维水准，Fuys et all.(1988)认为学生遇到个新主题时常退回到最初的阶段，不过很快可以达到先前主题所表现的阶段，所以他们认为学生在不同主下周上虽表现不同思维水准，但有一潜在的水准，在不同主题间是一致的。
或许我们可以如此解释：人的认知水准有一抽象的核心结构，这个结构在不同的知识领域由于经验的多寡有不同表现，例如在平面几何上由于经验较多而使得此结构表现较优越，而在立体几何上由于经验较少而表现较差。
4.不同年龄层次儿童的几何思维水准
据Burget & Shauhnessy(1986)的引述，有几个研究与此问题有关，Pyshkalo(1968)研究苏俄儿童，发现五年级结束时(12岁)仅有10-12%儿童达到阶段Ⅱ，在立体几何上的发展更征缓。Fuys(1988)研究16个六年级学生，发现其中有19%即使在教学后还只停留在阶段0，亦即不会分析图形的性质。其中31%在阶段0中但朝向阶段Ⅰ发展。其余50%使于阶段Ⅰ思维水准而向阶段Ⅱ发展，但他们的必须先温习阶段0的知识，巩固阶段Ⅰ的观念，有些人演绎推理的论证，但都属于归纳推理。
在九年级(国中三年级)学生中约有12%停留在阶段0，44%学生在阶段Ⅰ，他们能依属性认识一些熟悉形状，但没有平行四边形与梯形的知识，另外的44%稳定在于阶段Ⅰ，而向阶段Ⅱ发展，他们的作业速度较快也较有信心，处理问题时也较有思想和创造性，也能省思其思维。有些高中生学了论证的几何学之后，仍然停留在阶段Ⅰ;约40%学生低于阶段Ⅰ，且由于他们未发展到阶段Ⅱ，所以形式的几何教材对他们无益。
5.我国学童在van Hiele阶段上的表现
就笔者所知，以我国学童为对象所作的研究有林军治(民81年)、刘湘川等(民82年)的研究。
花莲师院林军汉教授以花莲征三年级至五年级学为对象，研究他们的van Hiele发展阶段。林军治自编van Hiele几何发展水准测验，评量三年级学生172人、五年级学生165人，发现他们在van Hiele水准上的发布如下表(林军治81年，p.25)
表14.1 三年级与五年级儿童在van Hiele水准上分布人数
百分比之差异检定
三年级 五年级
水准 N% N%
0 76 44.19 43 26.06 x2=57.33
1 38 22.09 49 29.07 p<.01
2 0 0.00 49 29.70
合适全体 114 66.28 141 85.46
不合适 58 33.72 24 14.54
合 体 172 100.00 165 100.00
每个儿童在某一水准题目上的得分在70%以上者，核定为具有该水准的能力，能的儿童在各水准的得分不能指定其所属水准者，为不合适个案，三年级有58人为不合适者，就三年级而言，此测验若能反映在van Hiele阶段，则此理论的分离难度不佳。
刘湘川等人(民82年，p.76-97)以三年级和四年级学生各八人为对象，作个别访谈，深入探索他们在解决在van Hiele发展问题上的思维情况，依他的研究，三年级学生大体尚处于阶段0的水准，只有图形特性的辨别与应用，角的度量、求面积、圆等方面有些项目进入阶段Ⅰ;四年级学童虽略优于三年级学童，但也仅处于阶段0，令人惊讶的是这些少于已学过不少几何知识;他们在一年级已学过简单图形的辨认与作图，在二年级以学边辨认图形的角、边、顶点，学过辨认直角，分析过长方体的构成要素与要素间的关系，三年级则学过圆周、圆心、半径、直径等概念。
据 他们的访谈所知，三年级学生在图形辨认方面，八个学生都能说出四边形与三角形的边数、角数、项点数，但没有人把征形误认为三角形，把【征】误认为三角形而 【征】为四边形;在六边形的辨认方面有一个学生误以为是四边形。在图形特征的辨别及应用方面，学生虽在二年级学过垂直与平行，且经访谈者折纸示范说明但仍 不甚了解其概念;在访谈者说明平行现象之后，只有四位能说出平行四边形的特征——两组对边平行;给学生各种四边形的图卡，要他们选出平行四边形、长方形、 正方形，没有一个人全部答对，例如有六个所选长方形不包含正方形，问他们正方形是否为长方形，全部回答不是;学童在选择一个图形之所有特征方面也不理想， 例如在长方形方面，有两人正确选出，但有两人选了【四边形】而未选【对角线一样长】或【对角相等】，其余四位都少选一两项，对于正方形中只有一人略有非正 式演绎推理的能力。整体而言他们的能力仅在阶段0，【虽有少部分学兰已达第1层次水准，但尚未成熟】。
三、Piaget 与van Hiele理论的分析与比较
几何课程设计所参照的心理学理论，目前大致以Piaget 以及van Hiele的理论为主，因此有必要对这两种理论作一个综合的检讨，希望由此检讨而更深入了解其精神与内涵。
(一)由前面简略的描述，可以看出Piaget研究的重点在于几何的建构，而van Hiele的理论基则涉及建构几何系统的逻辑顺序，因此这两种理论未始不可以互补。
van Hiele理 论基础所假设的发展过程是：图形的和辨认、图形的特征辨认与概论的形成、图形间关系的辨认与推演、几何命题的逻辑论证、抽象的几何系统的建构，由此可见其 着眼点在整个几何知识，而这个知识建构的顺序也是几何教学内容设计的顺序，所以偏向几何知识内容方面，对于各个阶段所涉及的认知历程未有详细的解释，而Piaget的理论局限在概念的形成，但欲深入探讨几何概念形成的运思程序，例如他认为直线概念的形成有赖于【采取一个观点的】思考，能以描准的策略将一点对齐才有直线的概念，能协调不同观点才有参考座标的概念。所以在几何概念形成方面(亦在van Hiele阶段Ⅰ之前)可以研究两种理论而作一统整。
(二)在第三章我们讨论过概念形成的过程——先分析事物的属性，再依属性分类，再给予某一类一个名称并予以定义。van Hiele理论中阶段0、Ⅰ与Ⅱ便包含了形成概念的过程，阶段0是以知觉认识图形的整个特征，阶段Ⅰ则分析图形的特征，阶段Ⅱ则含有定义的过程，Piaget理论的重点在于儿童如何认识图形的特征，他认为图形特征的认知不是直觉的，而是含有逻辑运思历程。辨认拓征性质所需的逻辑运思才能辨认是值得进一步研究的题材。依van Hiele的理论，图形性质的辨认仗赖分析——分析图形的构成要素及要素间的关系，正方形的要素有：(1)四个边、(2)四个项点、(3)四个角，其间的关系有：(1)四个边相等、(2)对边平行、(3)四个角都是等于直角。这些对于成人而言都可以不假思索就知道了，但对儿童欲仍有困难。以【对边平行】而言，其困难之处是否如Piaget所说的，儿童须要协调不同观点才有平行的概念，而在学校的学习活动并没有让儿童有这种经验?几何性质并不易分辨，我觉得是值得研究的地方。
(三) 一个发展理论所设计的阶段应该是分离的，一个儿童的表现不会跨越几个阶段，亦即不会同时有阶段Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等三个阶段的行为，否则就分不出阶段的阶层性了， 在这一点上，两咱理论都受到质疑，这点或许可以提出来两种不同的解释，其一，儿童的认知能力是一个潜在的能力，代表一个潜在水准，这个潜在能力会因为经验 而有不同程度的展现，在某一个主题由于经验多、较为熟悉而表现出较高水准，在另一个主题则由于经验不足而表现出较逊，其二，测验作业难易不均所形成，这在van Hiele的理论上更重要。分析图形性质的水准当然在非正式演绎之下，但辨认线对称图形之性质：【对称点联结被对称轴垂直且平分】欲相当困难。由三角形三内角和为180度，推理出等腰直角三角形的锐角是45度，是非正式演绎水准的作业，但这作业可能比发现对称图形的性质容易。
(四)一知识领域的概念阶层往往也含有能力发展的顺序，例如在物理学上，加速度概念以速度、距离、时间等为人位概念，儿童不理解速度概念者就懂得加速度。van Hiele的 理论基本上是概念阶层的理论，当然多少也可以区别能力水准，但这只是附带的，儿童认为【正方形不是长方形】未必表示他不懂得图形的包含关系，而可能是在图 形定义上有了错误概念所致。一堆四边形的图卡可以做多种分类。我们可以把四个角都是直角的归纳一类，这是数学上称为【长方形】的一类，我们也可以把四个角 都是直角且一组对边大于另一组对边的图形归纳为一类，可能儿童心中的长方形是这一类。当老师在示范长方形时不会画正方形，因为正方形只是长方形的特例，但 在儿童心里可能认为长方形与正方形是互斥的，一个定义是社会上约定俗成的事，街上的成人对于长方形的定义未心与数学家团体一致，儿童自己的定义与老师的不 同也不足为奇，所以我认为van Hiele水准可能与学习经验有密切关系，而不是【天生能力的发展顺序】。
(摘自《国小数学科教学研究》刘秋木著，台北市，五南图书出版公司。)